2024-04-20《科学与假设》：它只是更为方便而已
核验不同于真的证明，正因为它是纯粹分析的，正因为它是毫无结果的。其所以毫无结果，是因为结论不过是翻译成另一种语言的前提。
——《数学推理的本性》
莱布尼兹的老问题摆在面前：如何证明2+2=4？对于这个问题，彭加勒重复了莱布尼茨的证明，但是这个包含着“推理”的证明在彭加勒看来，却“毫无结果”，因为，它“不能告诉我们任何新东西”。按照数学家的说法，这不是真正的证明，它只是“核验”：也就是对一种已知的东西的“翻译”，是结论的转换，并没有产生新的东西，而核验本身就是纯粹分析的，所以它并不是真正的证明——在核验“毫无结果”的反面，只有真的证明才是富有成效的。回到加法的定义，彭加勒运算了x+1，然后运算了x+a，即把1或者a加到已知数x上，在这个运算过程中，彭加勒找到了加法具有的特性，即结合性和交换性；然后他又通过乘法的运算，得出了乘法的特性，即分配性和交换性，这两种特性都是彭加勒用递归来证明的，它得出了代数计算法则，但是这种计算依然只是一种变换，它有助于形成更多不同的组合，但是在彭加勒看来，也依然是纯粹分析的工具，依然不能告诉我们任何新的东西。
那么，新的东西是什么？为什么必须在非综合分析的证明中产生？彭加勒认为，“唯有普遍的定理，才是科学的目标。”数学中的等式2+2=4的“证明”只是一种核验，因为它是特定的，数学中对于特定的阐述都是一种核验，而核验不产生新的东西，不是从特殊到普遍，就不是一种科学，只有在数学的无限观念中，在从特殊到普遍的重复过程中，才能走向科学——彭加勒举的一个例子是：国际象棋具有完全不同的走法，它从来不提供相似性，不会有普遍的走法，所以国际象棋棋手没有在赢棋中创立科学，国际象棋理论也不会变成科学，“离开普遍性便没有科学。”
这是一本关于科学的书，作者彭加勒是法国伟大的数学家、数学物理学家、理论天文学家，他在科学领域功勋卓著：在数学领域，他研究和贡献了函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等，尤其是他发明的自守函数使得函数论大方异彩；在物理学方面，他的研究涉及毛细管理论、弹性力学、流体力学、热的传播、势论、光学、电学、磁学、电子动力学等等，他是相对论的先驱、量子理论的积极倡导者、混沌学的开创人；在天文学方面，彭加勒在旋转流体的平衡形状、太阳系的稳定性、太阳系的起源上都有深入研究……数学、物理学、天文学，这些都是科学的重要领域，也都是彭加勒研究普遍性的场域，而在这些具体的科学领域之外，彭加勒探讨的科学哲学则成为了科学研究的指导，在本书的序言中，彭加勒指出了指导研究的科学哲学的意义所在，“对于一个浅薄的观察者来说，科学的真理是无可怀疑的；科学的逻辑是确实可靠的，如果科学家有时犯错误，那只是由于他们弄错了科学规则。”
彭加勒指出的那个容易弄错的“科学规则”是不是就是一种科学哲学理念和思想？从莱布尼茨2+2=4的“证明”到加法和乘法的计算法则，彭加勒都认为它们是纯粹分析的，所以否定了它们具有的普遍性而从将它们从科学中排出出去，那么，什么是数学科学的本性？“数学科学的可能性本身似乎是一个不可解决的矛盾。”数学科学应该是建立在普遍性的明确目的的方法论上的，为什么这是一个“可能性”问题？如果只是一种演绎，甚至是依据形势逻辑的规则进行的演绎，“为什么没有变成庞大的同义反复呢？”这说明，数学科学隐含着可能性，也只有在让可能性的特殊变成必然性的普遍中，数学才能真正成为科学。在这里，彭加勒提出了一个重要的观念，那就是数学所研究的不是客体，“而是客体之间的关系”，只要关系不变，客体被替换都是无关紧要的，也就是说，真正的内容是不重要的，数学家感兴趣的是形式，这也就是戴德金所说的“纯粹的符号”，它是不可通约数，“这种数完全不同于应当是可度量的并且几乎是可触知的量的普通观念。”
纯粹的符号是不可通约数，那么数学连续统的概念是不是从经验而来？彭加勒认为，经验的材料是感觉，它容许度量，甚至有人提出了一个定律，那就是感觉与刺激的对数成正比，从这里彭加勒得出结论，数学连续统的概念是由心智创造的，而经验为它提供了机会，也就是说，心智具有创造符号的能力，也是心智，构造了只有符号特殊系统的数学连续统，而经验的作用并不能小觑，“只有经验向那里给心智提供刺激物，心智才能利用这种能力。”按照这样的推论，多维数学连续统就是通过称为坐标的连续点来定义的，“由于我们希望接着把测量引入刚刚定义的连续统，于是这个连续统变为空间，几何学诞生了。”从数学到几何学，也意味着从符号走向了空间，而几何学所特有的就是“不可证明的公理”。
| 编号：B83·2240119·2057 |
通过两点只能作一条直线；直线是一点到另一点的最短路径；通过一给定点只能引一条直线与已知直线平行……这三个公理是几何学的基础，而对于第三个公理，人们长期以来想得到证明，这就是所谓的欧几里得公设，但是“总是白费气力”。但是后来有一个叫罗巴契夫斯基的几何学家开始了证明，他的假定是：“通过一给定点能够引两条与已知直线平行的直线。”这就是“鲍耶-罗巴契夫斯基几何学”。可以说，罗巴契夫斯基的命题与欧几里得的命题毫不相干，但是在逻辑上是密切关联的；而之后的黎曼则设想出一个“唯一地由没有厚度（高度）的生物栖息的世界”，他假定这些“无限扁平”的动物都在同一个平面而不能离开，而且他还要承认这个世界距离其他世界足够远，不受其他世界的影响——黎曼几何学其实已经将平面扩展到了三维的球面，他抛弃了欧几里得公设，抛弃了“通过两点只能作一条直线”的公理……
从欧几里得公设到罗坝契夫斯基，再到黎曼，不同的几何学家提出了自己的空间理论构想，并将其变成了几何学的公理，在这个意义上，彭加勒提出的问题是：“几何学公理的本性是什么？”显然，这些几何学公理并不是康德所说的先验综合判断，当然也不是实验事实，那么它们是什么？在这里，彭加勒提出了他在科学哲学上最著名的创造性理论，那就是约定论：“它们是约定；我们在所有可能的约定中进行选择，要受实验事实的指导；但选择依然是自由的，只是受到避免一切矛盾的必要性的限制。”不是综合判断，因为综合判断不提供新的东西；不是实验事实，黎曼的几何学根本无法通过实验得出结论，约定是一种“隐蔽的定义”，它不是严格为真的公设，“一种几何学不会比另一种几何学更真；它只能是更为方便而已。”欧几里得几何学是约定，罗坝契夫斯基几何学是约定，黎曼几何学也是约定，而彭加勒认为，“欧几里得几何学现在是、将来依然是最方便的”。
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| 彭加勒：约定是精神自由活动的产物 |
约定表现为对“更方便”的的发现，在几何学的空间中，这种“更方便”似乎更加明显表现出来。首先彭加勒提出了以感觉为框架的知觉空间，它具体表现为视觉空间、触觉空间和通过肌肉感觉形成的动觉空间，这三种知觉空间不是均匀的，不是各向同性的，甚至不能说是三维的，而几何学空间是连续的，是无限的，是三维的，是均匀的，是各向同性的，而几何学空间的客体是固体，“假使在自然界没有固体，那么便不会有几何学。”在这里几何学空间的“位移”形成了一种想象力，它甚至变成了四维空间——想象力的存在，就是心智的一种运动，它让固体变成了“理想固体”。除此之外，彭加勒还探讨了经验和几何学的关系，在这里，他也创造性地给出了“相对性定律”：“物体在任何时刻的状态和它们的相互距离仅取决于这些同样的物体在初始时刻的状态和它们的相互距离，但是完全不依赖该系统的绝对初始位置和绝对初始取向。”彭加勒的相对性定律即：在任何时刻，我们根据仪器得到的读数，“仅仅依赖于我们根据同一仪器在初始时刻能够得出的读数”。
相对性定律所依赖的就是经验，而不是先验，“简而言之，对于我的身体的每一个姿势，我的第一个手指确定一点，正是此而且唯有此，才规定了空间的一点。”经验所得到的读数，经验所确定的点，都构成了空间中客体的关系，都证明了约定论最方便的意义，“经验通过向我们表明哪一种选择本身最适合于我们身体的特性来指导我们。”所以彭加勒认为，“几何学不是真实的，它是有利的。”这种方便的、有利的约定论在“力”中也得到了阐述，传统力学原理源于实验，但是实验只能提供物，却不能提供空间和关系：实验中没有绝度空间，只有相对运动；实验中没有绝对时间，只有通过约定才能获得意义；实验也不能提供两个持续时间相等的直觉，“而且我们甚至对发生在不同地点的两个事件的同时性也没有直接的直觉”；力学事实是根据欧几里得空间阐述的，而欧几里得空间就是一种约定。所以，彭加勒认为，力学的加速度定律、力的合成法则就是一种约定，但是这些约定不是任意的，不是出自胡思乱想，“我们之所以采纳它，是因为某些实验向我们表明它总是方便的。”
在这里，彭加勒区别了两种定律，一种就是实验的定律，实验的定律是被近似地证明了的，当它被约定论引出然后成为原理，最后用我们的心智把绝度的价值赋予他们，所以这样一种约定是心智活动的结果，是精神的自由活动，是能动性的体现，它贯穿在整个科学创造活动中。但是，还有一种定律则是绝对而严格的原理，那么对于这样的定律，又该如何产生？彭加勒再次回到科学实验之中，他认为，“实验是真理的唯一源泉”：唯有实验能告诉我们一切新的东西，也唯有实验给我们确定性。但是实验只是一种孤立的行动，就像是各自独立的点，我们所要做的就是用一条连续的线将它们连接起来，而这就是“概括”，不仅要概括，还要矫正，只有通过概括、矫正这些有序化的过程，才能拥有经过组织的科学，才能得出绝对而严格的原理。
那么，在实验通过概括和矫正的道路上，很重要的一步就是假设——这也是本书重要的第二部分。彭加勒创造性地把假设分为三类，第一类是极其自然的假设，它们只是外观看来是假设，它们能还原为隐蔽的定义或约定；第二类是中性假设，它们无能力把我们导入歧途，它们或者作为计算的技巧，或者有助于我们理解具体的图像，或者坚定我们的观念；第三类假设是真正的概括，它们是实验必须确认或否证的假设，总是富有成效的。对于真正的假设提出的意义是：“通常认为每一个定律都是简单的，直到相反的东西被证明为止。”简单是一种假设，相反的东西有时也是假设，所以彭加勒说：“一切概括都是假设。”“如果我们的研究方法变得越来越透彻，我们便会在复杂的东西之下发现简单的东西，然后在简单的东西之下发现复杂的东西，接着再在复杂的东西之下发现简单的东西，如此循环不已，我们不能预见最后的期限是什么。”这就是从假设走向普遍的科学道路；但是另一方面来说，还有被抛弃的假设，它并非是毫无成效的，有时甚至比真实的假设贡献更大；在实验中，还需要有“危险的假设”，“尤为重要的是不言而喻的和无意识的假设。由于我们是在不了解实验的情况下做假设的，因此我们无力拋弃这些假设。”
从简单的假设到复杂的假设，从被抛弃的假设到无意识的假设，从真实的假设到危险的假设，一切假设的目的是为了检验，是为了证实——但是彭加勒在这里又提出：“重要的是不要过分地增加假设，只能一个接一个地做假设。”只有假设被证实，才能最终建立严格的定律，才能走向普遍的规律，才能形成科学的思想。从为了更方便的约定论到“一切概括都是假设”，彭加勒的科学哲学给了心智极高的地位，这种地位所体现的就是能动性，就是精神的自由，也唯有此，才能颁布科学的“法令”：“我们的法令如同一位专制而聪明的君主的法令，他要咨询国家的顾问委员会才颁布法令。”
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