2022-08-10《几何原本》：尽规矩准绳之用
能通几何之学，缜密甚矣！故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也。
——徐光启《<几何原本>杂议》
阐述说：《几何原本》有“四不必”：不必疑，不必揣，不必试，不必改，说明这是客观的规律；议论说，此书有“四不可得”：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得，说明论证有其严密性；叙说此书有三至、三能：“似至晦实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难实至易，故能以其易易他物之至难。”说明理论有其清晰性；最后结论说此书有“五不可学”：“躁心人不可学，粗心人不可学，满心人不可学，妒心人不可学，傲心人不可学。”这是对学人提出的要求。
“四不必”指向它的客观性，“四不可得”指向它论证的严密性，“三至三能”指向逻辑清晰性，“五不可学”则指向了几何学之人必须的素质——“故学此者不止增才，亦德基也。”之所以躁心人、粗心人、满心人、妒心人和傲心人不可学几何，就在于徐光启认为这些人不惧德，而这里的德指向的是对事物的认识能力，或者说就是一种知，“几何之学，深有益于致知。”而五种人在他看来是无法“致知”的：“明此、知向所揣摩造作，而自诡为工巧者皆非也。一也。明此、知吾所已知不若吾所来知之多，而不可算计也。二也。明此、知向所想象之理，多虚浮而不可挼也。三也。明此、知向所立言之可得而迁徙移易也。四也。”这四种态度正是对五不可学之人的具体描摹，那么，徐光启所说的德，所说的知，到底对于学习几何学有什么意义？或者说，几何学能带来怎样的德？怎样的知？
这就涉及到徐光启对《几何原本》及几何学的认识。他在《<几何原本>序》中回顾了中国“度数”的历史，三代而上，度数为业者盛，但是最后那些“元元本本、师传曹习之学”，都“丧于祖龙之焰”，而汉代之后，更是在任意揣摩、依拟形似中失去了根本，而到了自己生活的时代，更是“此道尽废”，甚至是“不得不废”。从《九章算术》《墨经》《周脾算经》“至于今”，中国度数的历史，就是不断废弃的历史，徐光启并没有深究废弃的缘由，但是在他看来，废弃所丧失的是一种学问之用，“凡人学问，有解得一半者，有解得十九或十一者。独几何之学，通即全通，蔽即全蔽，更无高下分数可论。”他把人分为上资和中材两种，如果有上资而意理疏莽，那么上资无用，如果有中材而心思缜密，那么中材有用——无用和有用的标准就是缜密与否，而在他看来，几何学就是需要缜密的思维，“故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也。”缜密的思维成为一种道，几何之道就是“实用”，所以，“此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”扩展而论之，“能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。”
无一事不可精，无一事不可学，就是要在缜密中达到学以致用的目的，不管是“四不必”还是“三至、三能”，或者是“五不可学”都为了起到这个作用。所以他把《几何原本》推向而来度数的至高之地，“《几何原本》者，度数之宗，所以穷方圆平直之情，尽规矩准绳之用也。”1607年，他和利玛窦合作出版了六卷本的《几何原本》，此时距离世界上第一个印刷本在威尼斯问世已有125年，但与其他一些欧洲文字的初版相比还不算太迟。翻译《几何原本》徐光启陈述了私心，“不意古学废绝二千年后，顿获补缀唐虞三代之阙典遗义，其裨益当世，定复不小。”而裨益也在于“有用”，“从疑得信，盖不用为用，众用所基，真可谓万象之形囿、百家之学海，虽实未竞，然以当他书既可得而论矣。”此种“有用论”在利玛窦的《译<几何原本>引》中有更详细、更具体的说明。
| 编号：W41·2220421·1827 |
“几何家者，专察物之分限者也，其分者若截以为数，则显物几何众也；若完以为度，则指物几何大也。”在利玛窦看来，数与度结合，就是将物于理结合，“或二者在物体，而偕其物议之，则议数者如在音相济为和，而立律吕乐家；议度者如在动天迭运为时，而立天文历家也。”由此几何学的实用性在度数上可以分析百派：可以测量天地之大、楼台之高、井谷之深，两地相距之远近；可以“造器以仪天地”，便民用，祭上帝；可以经理水土木石诸工，筑城郭作为楼台宫殿；可以用小力转大重制造机器设备；可以察目视势，以远近、正邪、高下之差；可以为地理制指南，“自舆地山海全图至五方四海，方之各国、海之各岛，一州一郡，咸布之简中，如指掌焉。”所以他认为，《几何原本》就是通向天文地理的阶梯，“若夫从事几何之学者，虽神明天纵，不得不藉此为阶梯焉。”
但是利玛窦虽然和徐光启一样认识到几何学的实用性，但是对于《几何原本》的开创性意义，徐光启认为作为“度数之宗”，《几何原本》穷尽了方圆平直等现象，起到了“规矩准绳之用”，自己翻译这本书，“则是书之为用更大矣”；而利玛窦在论述了几何学度数之结合的意义之后，认为这恰好填补了中国在这一领域的空白，这一空白就是“原本之论”，“窦自入中国，窃见为几何之学者，其人与书，信自不乏，独未睹有原本之论。”中国几何学之阙失，就在于不知其“所以然”，“既阙根基，遂难创造，即有斐然述作者，亦不能推明所以然之故，其是者己亦无从别白，有谬者人亦无从辨正。”这一点却被两百年之后的曾国藩洞察，他在《<几何原本>序》中认为，中国古代既有《九章算术》等书，但是学者闯入了一个误区，“学者泥其迹而求之，往往毕生习算，知其然而不知其所以然，遂有苦其繁而视为绝学者。无他，徒眩其法而不知求其理也。”不知其理就是不知其所以然，而曾国藩按照自己的解读，知其然就是《易传》中的象，而知其所以然则是数，《传》曰：“物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数。”从《几何原本》来看，一切有形之物概之曰“点线面体”，就是象，“点相引而成线，线相遇而成面，面相迭而成体，而线与线、面与面、体与体，其形有相兼有相似，其数有和有较，有有等有无等，有有比例有无比例。”只有观其象而通其理，然后立法以求其数，“则虽未睹前人已成之法，创而设之，若合符契。”所以《几何原本》就是打通了《九章算术》的“立法之原”，“至于探赜索隐，推广古法之所未备，则益远而无穷也。”
利玛窦所说之“原本之论”，曾国藩看到其“知其所以然”，或者才是《几何原本》所创立的“几何”之意义所在。《几何原本》第一卷就体现了“知其所以然”的体系：首先是23个定义，这些定义提出了点、线、面、圆和平行线的原始概念：
1．点是没有部分的东西。
2．线是没有宽的长。
3．线之端是点。
4．直线是其上均匀放置着点的线。
5．面是只有长和宽的东西。
6．面之端是线。
……
之后提出了5个“公设”，这是从“让我们假定”开始的：
1．从任一点到任一点可作一条直线。
2．一条有限直线可沿直线继续延长。
3．以任一点为心和任意距离可以作圆。
4．所有直角都彼此相等。
5．一条直线与两条直线相交，若在同侧的两内角之和小于两直角，则这两条直线无定限延长后在该侧相交。
然后再提出5个“公理”：
1．等于同量的量也彼此相等。
2．等量加等量，其和相等。
3．等量减等量，其差相等。
4．彼此重合的东西彼此相等。
5．整体大于部分。
从定义、公设和公理到命题，《几何原本》就建立了几何体系：定义是几何学里的名称或术语的意义，点线面体都是以生产实践中抽象出来且为人们所共知的内容，无需加以说明；公设则是几何学中“假定”成立的事项，而这种假定本身就是依据客观而被大家所公认；公理则是不加逻辑推论而自明的真理；最后是命题，命题分为“这就是所要作的”的作图题和“这就是所要证明”的定理两部分组成，作图题从几何学里已知的对象出发，找出或做出所要求的对象；定理则是根据假定、公理、公设和定义，运用逻辑推理方法推证而得出的结论——全本《几何原本》就是从第一卷的定义、公设和公理为依据，逻辑性地展开各部分内容，之后出现的每一个定理，都写明什么是已知的，什么是求证的，都根据前面的定义、公设、公理、定理进行逻辑推理给予严格的证明。
比如第三卷的命题1，即“找到给定圆的圆心”，作图过程如下：
设ABC是给定的圆；于是，要求找到圆ABC的圆心。
任意作直线AB穿过它，设AB被二等分于点D；从D作DC与AB成直角，且DC过点E；设CE被二等分于F；我说，F是圆ABC的圆心。
这是因为，假定不是这样，如果可能，设G是圆心，连接GA、GD、GB。
于是，由于AD等于DB，且DG公用，所以两边AD、DG分别等于两边BD、DG；而底GA等于底GB，因为它们都是半径；因此，角ADG等于角GDB。
但是，当一条直线与另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些等角中的每一个都是直角；因此，角GDB是直角。
但角FDB也是直角；因此，角FDB等于角GDB，大的等于小的：这是不可能的。
因此，G不是圆ABC的圆心。
类似地，可以证明，除此以外，任何其他点也不可能是圆心。
因此，点F是圆ABC的圆心。这就是所要作的。
最后是“这就是所要作的”结论，但是这个命题并不是孤立存在，它马上可以得出推论：“如果圆内一直线把另一直线截成相等的两部分且交成直角，则这个圆的圆心在该直线上。”
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| 欧几里得：几何学里，没有专为国王铺设的大道 |
从5个公设、5个公理和定义、命题构成的逻辑出发，《几何原本》建立了严密的论证体系：第2卷共有14个命题，研究多边形的等积问题，其中，前10个代数命题是用面积变换与毕达哥拉斯定理解决的，第12、13个命题相当于余弦定理；第3卷共有37个命题，先给出了有关圆的一些定义，然后讨论弦、切线、割线及圆心角与圆周角的有关定理，给出了由已知点作已知圆的切线的作图方法（不用平行公理）；第4卷共有16个命题，论述了圆和多边形的关系，如求作正多边形的内切圆、外接圆以及圆的内接正多边形、外切正多边形；第5卷共有25个命题，详细探讨了关于量的比例论，比例论避免了无理数而适用于不可公度的量；第6卷共有33个命题，将第5卷已建立的理论用到平面图形上去，为相似多边形的理论；第7、8、9卷分别有39、27、36个命题，是初等数论，是整数的整除性质的讨论，包括求两数最大公因数的辗转相除法（也叫欧几里得算法），给出了有关连比例的定理，素数无穷多的证明，最后一个命题是一个数是完全数的充分性的定理；第10卷共有115个命题，讨论了线段的加、减、乘以及开方运算，对所得之特殊线段命了名，并讨论了这些特殊线段之间的关系，对无理量所有25种可能的形式进行分类；第11卷共有39个命题，讨论了空间的直线与平面的各种关系，给出了直线与平面、平面与平面关系的许多性质定理，还给出了平行六面体的有关体积的命题；第12卷共有18个命题，是关于面积和体积的命题，特别是关于圆面积与球体积的问题；第13卷共有18个命题，是正多面体的一些性质，其目的在于讨论球内接各正多面体边长之间的关系，最后一个命题给出了球内五个正多面体边的作图，其推论指出正多面体仅有五个。
从点、线、面、圆和平行线的原始概念到三角形、多边形、圆、比例、数论、加减乘以及开放运算、线段关系、立体几何问题，《几何原理》的一切立足点就在于知其所以然，在这个过程中运用了综合法、分析法和反证法、几何代数法等证明方法，既用几何代数法叙述了比例论，巧妙地解决了很多经典问题；又广泛使用了穷竭法，使这一数学方法得到发展，而从中可以看到微积分的思想方法的雏形；还论证命题的过程中使用了辗转相除法，给出了两个正整数的最大公因数，形成了一个庞大的、严格的、演绎化的数学证明集合，而这个包含了算数、数论、几何的体系建立，重要的就是一层层推进的“知其所以然”的逻辑，而这便形成了西方思想中最能体现理性清晰性和确定性的思维方式，最终形成了现代公理化运动的诞生。
苏格拉底在柏拉图所著的《理想国》中首先阐述了几何学的意义，在他看来，几何学就是能把人的灵魂引向真理从而认识永恒事物的学问，所以尽管有其实用性在里面，但是其严密的逻辑性和数论的演绎性，却并不只是为了实用，法国数学家帕斯卡尔将这种公理化方法命名为“几何学精神”，《几何原本》里的这种几何学精神决定了思想史的走向，牛顿的《自然哲学的数学原理》和康德的《纯粹理性批判》就是在欧几里得数学观影响下的思想学著作：牛顿的作品是以欧几里得几何证明的形式写成的，康德则因为相信欧几里得几何的普遍有效性而提出了一种支配其整个知识理论的先验感性论——实用论和几何学精神的不同观点，也许正是造成了中国度数和西方几何完全不同的思维走向。
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